初中數學《弧長及扇形的面積》的教案

27.4弧長及扇形的面積

教學目標

(一)教學知識點

1．經歷探索弧長計算公式及扇形面積計算公式的過程；

2．了解弧長計算公式及扇形面積計算公式，并會應用公式解決問題．

(二)能力訓練要求

1．經歷探索弧長計算公式及扇形面積計算公式的過程，培養學生的探索能力．

2．了解弧長及扇形面積公式后，能用公式解決問題，訓練學生的數學運用能力．

(三)情感與價值觀要求

1．經歷探索弧長及扇形面積計算公式，讓學生體驗教學活動充滿著探索與創造，感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性．

2．通過用弧長及扇形面積公式解決實際問題，讓學生體驗數學與人類生活的密切聯系，激發學生學習數學的興趣，提高他們的學習積極性，同時提高大家的運用能力．

教學重點

1．經歷探索弧長及扇形面積計算公式的過程．

2．了解弧長及扇形面積計算公式．

3．會用公式解決問題．

教學難點

1．探索弧長及扇形面積計算公式．

2．用公式解決實際問題．

教學方法

學生互相交流探索法

教具準備

2．投影片四張

第一張：(記作A)

第二張：(記作B)

第三張：(記作C)

第四張：(記作D)

教學過程

Ⅰ．創設問題情境，引入新課

[師]在小學我們已經學習過有關圓的周長和面積公式，弧是圓周的一部分，扇形是圓的一部分，那么弧長與扇形面積應怎樣計算？它們與圓的周長、圓的面積之間有怎樣的關系呢？本節課我們將進行探索．

Ⅱ．新課講解

一、復習

1．圓的周長如何計算？

2．圓的面積如何計算？

3．圓的圓心角是多少度？

[生]若圓的半徑為r，則周長l＝2r，面積S＝r2，圓的圓心角是360．

二、探索弧長的計算公式

投影片(A)

如圖，某傳送帶的一個轉動輪的半徑為10cm．

(1)轉動輪轉一周，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？

(2)轉動輪轉1，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？

(3)轉動輪轉n，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？

[師]分析：轉動輪轉一周，傳送帶上的物品應被傳送一個圓的周長；因為圓的周長對應360的圓心角扇形的弧長公式，所以轉動輪轉1，傳送帶上的物品A被傳送圓周長的 ；轉動輪轉n，傳送帶上的物品A被傳送轉1時傳送距離的n倍．

[生]解：(1)轉動輪轉一周，傳送帶上的物品A被傳送210＝20cm；

(2)轉動輪轉1，傳送帶上的物品A被傳送 cm；

(3)轉動輪轉n，傳送帶上的物品A被傳送n ＝cm．

[師]根據上面的計算，你能猜想出在半徑為R的.圓中，n的圓心角所對的弧長的計算公式嗎？請大家互相交流．

[生]根據剛才的討論可知，360的圓心角對應圓周長2R，那么1的圓心角對應的弧長為 ，n的圓心角對應的弧長應為1的圓心角對應的弧長的n倍，即n ．

[師]表述得非常棒．

在半徑為R的圓中，n的圓心角所對的弧長(arclength)的計算公式為：

l＝ ．

下面我們看弧長公式的運用．

三、例題講解

投影片(B)

制作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料，試計算下圖中管道的展直長度，即 的長(結果精確到0.1mm)．

分析：要求管道的展直長度，即求 的長，根根弧長公式l＝ 可求得 的長，其中n為圓心角，R為半徑．

解：R＝40mm，n＝110．

的長＝ R＝ 4076.8mm．

因此，管道的展直長度約為76.8mm．

四、想一想

投影片(C)

在一塊空曠的草地上有一根柱子，柱子上拴著一條長3m的繩子，繩子的另一端拴著一只狗．

(1)這只狗的最大活動區域有多大？

(2)如果這只狗只能繞柱子轉過n角，那么它的最大活動區域有多大？

[師]請大家互相交流．

[生](1)如圖(1)，這只狗的最大活動區域是圓的面積，即9；

(2)如圖(2)，狗的活動區域是扇形，扇形是圓的一部分，360的圓心角對應的圓面積，1的圓心角對應圓面積的 ，即 ＝ ，n的圓心角對應的圓面積為n ＝ ．

[師]請大家根據剛才的例題歸納總結扇形的面積公式．

[生]如果圓的半徑為R，則圓的面積為R2，1的圓心角對應的扇形面積為 ，n的圓心角對應的扇形面積為n ．因此扇形面積的計算公式為S扇形＝ R2，其中R為扇形的半徑，n為圓心角．

五、弧長與扇形面積的關系

[師]我們探討了弧長和扇形面積的公式，在半徑為R的圓中，n的圓心角所對的弧長的計算公式為l＝ R，n的圓心角的扇形面積公式為S扇形＝ R2，在這兩個公式中，弧長和扇形面積都和圓心角n．半徑R有關系，因此l和S之間也有一定的關系，你能猜得出嗎？請大家互相交流．

[生]∵l＝ R，S扇形＝ R2，

R2＝ RR．S扇形＝ lR．

六、扇形面積的應用

投影片(D)

扇形AOB的半徑為12cm，AOB＝120，求 的長(結果精確到0.1cm)和扇形AOB的面積(結果精確到0.1cm2)

分析：要求弧長和扇形面積，根據公式需要知道半徑R和圓心角n即可，本題中這些條件已經告訴了，因此這個問題就解決了．

解： 的長＝ 1225.1cm．

S扇形＝ 122150.7cm2．

因此， 的長約為25.1cm，扇形AOB的面積約為150.7cm2．

Ⅲ．課堂練習

隨堂練習

Ⅳ．課時小結

本節課學習了如下內容：

1．探索弧長的計算公式l＝ R，并運用公式進行計算；

2．探索扇形的面積公式S＝ R2，并運用公式進行計算；

3．探索弧長l及扇形的面積S之間的關系，并能已知一方求另一方．

Ⅴ．課后作業

習題節選

Ⅵ．活動與探究

如圖，兩個同心圓被兩條半徑截得的 的長為6 cm， 的長為10 cm，又AC＝12cm，求陰影部分ABDC的面積．

分析：要求陰影部分的面積，需求扇形COD的面積與扇形AOB的面積之差．根據扇形面積S＝ lR，l已知扇形的弧長公式，則需要求兩個半徑OC與OA，因為OC＝OA＋AC，AC已知，所以只要能求出OA即可．

解：設OA＝R，OC＝R＋12，O＝n，根據已知條件有：

得 ．

3(R＋12)＝5R，R＝18．

OC＝18＋12＝30．

S＝S扇形COD－S扇形AOB＝ 1030－ 18＝96 cm2．

所以陰影部分的面積為96 cm2．

板書設計

27.4弧長及扇形的面積

一、1．復習圓的周長和面積計算公式；

2．探索弧長的計算公式；

3．例題講解；

4．想一想；

5．弧長及扇形面積的關系；

6．扇形面積的應用．

二、課堂練習

三、課時小結

四、課后作業

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