貢獻(xiàn)者: addis
預(yù)備知識求導(dǎo)法則
一個一元函數(shù) $y=f(x)$ 可導(dǎo),如果導(dǎo)函數(shù) $y'=f'(x)$ 仍可導(dǎo),則稱 $y'=f'(x)$ 的導(dǎo)數(shù)為函數(shù) $y=f(x)$ 的二階導(dǎo)數(shù),記為
\begin{equation}y'',\quad f''(x),\quad \frac{ \,\mathrmlhxlplt{^2y} }{ \,\mathrm7fxfvfd{x^2} },\quad \frac{ \,\mathrmv5vltfd{^2f} }{ \,\mathrmfz5bxh7{x^2} },\quad y''(x)~,\end{equation}
即
\begin{equation}y''=(y')',\quad\frac{ \,\mathrmj5xph9r{^2y} }{ \,\mathrmhpb5hhh{x^2} }= \frac{\mathrmlvpfn7f}{\mathrmxffx7pp{x}} \left( \frac{\mathrmlnrvzht{y}}{\mathrmd7pjv5t{x}} \right) ~.\end{equation}
由導(dǎo)數(shù)中的定義,可得二階導(dǎo)數(shù)的計算公式
\begin{equation}f''(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f'(x+ \Delta x)-f'(x)}{\Delta x}~.\end{equation}
若把 $y=f(x)$ 的導(dǎo)數(shù) $y'=f'(x)$ 稱為 $y=f(x)$ 的一階導(dǎo)數(shù),那么,一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)就稱為二階導(dǎo)數(shù)。若二階導(dǎo)數(shù) $y''=f''(x)$ 仍然可導(dǎo)高階導(dǎo)數(shù)公式,我們就把二階導(dǎo)數(shù)的數(shù) $y''=f''(x)$ 的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),記為
\begin{equation}y''',\quad f'''(x),\quad \frac{ \,\mathrml5ndj7z{^3y} }{ \,\mathrmx5bfvvd{x^3} },\quad \frac{ \,\mathrmbvl77x5{^3f} }{ \,\mathrmjr7b755{x^3} },\quad y'''(x)~.\end{equation}
一般地,如果 $y=f(x)$ 的 $n-1$ 階導(dǎo)數(shù)是可導(dǎo)的,我們就把 $n-1$ 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為果 $y=f(x)$ 的n 階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式,記為
\begin{equation}y^{(n)},\quad f^{(n)}(x),\quad \frac{ \,\mathrmthzf5lx{^ny} }{ \,\mathrmnt5lpb7{x^n} },\quad \frac{ \,\mathrmb7nbhrb{^nf} }{ \,\mathrm7lpvnxr{x^n} },\quad y^{(n)}(x)~,\end{equation}
二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。利用求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則就可以求出高階導(dǎo)數(shù)。